Абсолютна шкала температур, поширення хвиль по поверхні рідини, гравітаційний розігрів зір, електромагнітні коливання, вдосконалений морський компас, ехолот безперервної дії, кабель, точний гальванометр. І десятирічний студент університету. Ви, напевно, вже здогадалися, що все це поєднує одне ім'я — Ві-льям Томсон (лорд Кельвін). У 1853 р. Вільям Томсон вивів формулу залежності періоду власних коливань контуру від його ємності та індуктивності. Цю формулу будемо виводити й ми.
Як розрахувати період власних коливань коливального контуру
Оскільки коливання — періодичні процеси, однією з основних фізичних величин, що їх характеризують, є період. Нагадаємо, що період коливань тіла на пружині обчислюється за формулою:
Якщо ви правильно склали таблицю аналогій (вправа № 23, завдання 4), то отримали, що маса т тіла в механічній коливальній системі аналогічна індуктивності L котушки, а жорсткість k пружини — величині, оберненій до ємності конденсатора, тобто
Отже,
скориставшись методом аналогій, можемо записати формулу для розрахунку періоду власних електромагнітних коливань у коливальному контурі — формулу Томсона:
Чому формула Томсона є наслідком закону збереження енергії
Доведемо, що формула Томсона, яку ми отримали методом аналогій, є справедливою. Скористаємось такими фактами.
1) За означенням сила струму дорівнює швидкості зміни заряду:
Сила струму в коливальному контурі постійно змінюється,
тому в даний момент часу t сила струму дорівнює:
Відповідно, швидкість зміни сили струму дорівнює:
2) Коливальний контур ідеальний, тому його повна енергія не змінюється з часом:
Знайдемо похідні від правої й лівої частин останнього рівняння:
Скориставшись правилами знаходження похід
них, отримаємо:
Враховуючи, що
Звідси:
Рівняння (1) є диференціальним рівнянням другого порядку, розв’язком якого, як відомо з математики, є функція косинуса (синуса). Дійсно, якщо
Таким чином, заряд на обкладках конденсатора ідеального коливального контуру змінюється за гармонічним законом, і рівняння коливань заряду має вигляд:
де <7max — амплітудне значення заряду на обкладках конденсатора;
циклічна частота коливань;
початкова фаза коливань.
Порівнюючи вирази (1) і (2), маємо:
Оскільки період коливань
то одержимо формулу Томсона:
Зверніть увагу:
1) якщо в момент початку спостереження заряд на обкладках конденсатора максимальний, то рівняння коливань заряду має вигляд q = qmtx cos ω/, α графік коливань заряду являє собою косинусоїду (рис. 28.1);
Рис. 28.1. Графіки електромагнітних коливань в ідеальному коливальному контурі: q(t) — графік залежності заряду на обкладках конденсатора від часу; /(f) — графік залежності сили струму в контурі від часу
2) сила струму пов’язана із зарядом на обкладках конденсатора співвідношенням:
амплітудне значення сили струму в контурі.
Коливання сили струму в контурі випереджають коливання заряду на обкладках конденсатора на фазу
тобто на чверть періоду
Яким є період вільних коливань у реальному коливальному контурі
У реальних коливальних контурах завжди є певні втрати енергії.
1) Енергія витрачається на нагрівання провідників під час проходження струму. Чим вищою є частота електромагнітних коливань у контурі, тим сильніше нагріваються провідники. Річ у тім, що для змінного струму має місце так званий скін-ефект: струм високої частоти проходить не по всьому об’єму провідника, а тільки по тонкому шару на його поверхні, у результаті площа перерізу, по якому йде струм, зменшується, і опір зростає. Чим вищою є частота, тим тонший робочий шар.
2) Діелектрик між обкладками конденсатора теж нагрівається, оскільки змінне електричне поле викликає коливання молекул діелектрика. До того ж діелектрики не є ідеальними ізоляторами, тому конденсатор частково розряджається не через котушку, а безпосередньо через діелектрик.
3) Нагріваються феромагнітні осердя, що їх використовують для збільшення індуктивності котушок, оскільки в них виникають струми Фуко. Деяка частина енергії витрачається і на перемагнічування осердь.
4) Енергія витрачається на випромінювання електромагнітних хвиль.
Усі ці втрати умовно вважають втратами в деякому активному опорі R (рис. 28.2, а). Наявність активного опору приводить до того, що амплітуда сили струму в контурі поступово зменшується і коливання припиняються. Таким чином, вільні електромагнітні коливання в реальному коливальному контурі є затухаючими (рис. 28.2, б). Якщо опір R великий, то коливання навіть не почнуться.
Використовуючи елементи математичного аналізу, можна довести, що для затухаючих електромагнітних коливань формула Том-сона набуває вигляду:
Отже, чим більше активний опір R контуру, тим більшим є період коливань.'
Учимося розв'язувати задачі
Задача. Максимальна напруга на обкладках конденсатора ідеального коливального контуру досягає 1,0 кВ. Визначте період електромагнітних коливань у контурі, якщо за амплітудного значення сили струму 1,0 А енергія магнітного поля в контурі становить 1,0 мДж.
Пошук математичної моделі, розв’язання. Для визначення періоду електромагнітних коливань
скористаємося формулою Томсона
і законом збереження енергії:
Визначимо значення шуканої величини:
Відповідь: період електромагнітних коливань у контурі Τ’= 13 мкс.
Підбиваємо підсумки
Заряд на обкладках конденсатора ідеального коливального контуру змінюється за гармонічним законом:
Коливання
сили струму в контурі випереджають за фазою коливання заряду на обкладках конденсатора на фазу
Період власних електромагнітних коливань у коливальному контурі визначається за формулою Томсона:
За наявності опору формула Томсона набуває вигляду:
Контрольні запитання
1· Отримайте формулу Томсона, скориставшись механічною аналогією електромагнітних коливань. 2. Отримайте формулу Томсона, скориставшись законом збереження енергії. 3. Запишіть рівняння залежності q(t) для ідеального коливального контуру. Назвіть фізичні величини, що входять у рівняння. 4. Отримайте рівняння залежності /(f). 5. Який вигляд має графік коливань: заряду на обкладках конденсатора? сили струму в контурі? ^ 6. Чому електромагнітні коливання в реальному коливальному контурі є затухаючими? ★ 7. Запишіть формулу для визначення періоду вільних електромагнітних коливань у реальному коливальному контурі.
Вправа № 24
1. Чи зміняться, і якщо зміняться, то як, період і частота вільних електромагнітних коливань у коливальному контурі, опір якого є нехтовно малим, якщо ємність конденсатора збільшити у 2 рази, а індуктивність котушки зменшити у 8 разів? ^ Чи зміниться результат, якщо опором контуру знехтувати не можна?
2. Чому дорівнює період власних електромагнітних коливань у коливальному контурі, індуктивність якого дорівнює 1,5 мГн, а ємність — 15 мкФ? Як зміниться результат, якщо приєднати ще три такі самі конденсатори: а) паралельно конденсатору; б) послідовно з конденсатором?
3. Електричний заряд на обкладках конденсатора коливального контуру змінюється за законом:
Ємність конденсатора 400 пФ. Визначте: 1) початкову фазу й циклічну частоту коливань у контурі; 2) період і частоту коливань; 3) амплітудні значення заряду та сили струму; 4) індуктивність котушки; 5) енергію електричного поля конденсатора та енергію магнітного поля котушки через f = 2 мкс після початку спостереження.
Це матеріал з підручника Фізика 11 клас Бар'яхтар