У повсякденному житті ми доволі часто, особливо в суху погоду, зустрічаємось із ситуацією, коли, торкнувшись якогось тіла, відчуваємо неприємний удар. Як показує досвід, таких сюрпризів можна чекати від тіл, що мають високий потенціал. Саме з цим поняттям ви ознайомитесь у даному параграфі.
Що називають потенціалом електростатичного поля
Потенціал
електростатичного поля в даній точці — це скалярна фізична величина, яка характеризує енергетичні властивості електростатичного поля й дорівнює відношенню потенціальної енергії Wn електричного заряду, поміщеного в дану точку поля, до значення q цього заряду:
Одиниця потенціалу в СІ — вольт (В);
Нехай у полі, створеному у вакуумі точковим зарядом Q, на відстані г від Q перебуває пробний заряд q. Ви вже знаєте, що потенціальна енергія Wn взаємодії цих зарядів дорівнює:
Підставивши цей вираз у формулу (1), одержимо формулу для розрахунку потенціалу φ поля, створеного точковим зарядом Q, у точках, що розташовані на відстані г від заряду Q:
Нагадаємо, що значення потенціальної енергії залежить від вибору нульової точки. Таким чином, щоб однозначно визначити потенціал у будь-якій точці, спочатку необхідно обрати нульову точку. У формулі (2) за таку точку обрано «нескінченність», тобто точку, віддалену від заряду на дуже велику відстань:
Тому, якщо
Слід зауважити, що формула (2) справджується і для потенціалу поля рівномірно зарядженої сфери (або кулі) на відстанях, що більші за її радіус або дорівнюють йому, бо поле сфери (кулі) поза сферою (кулею) й на її поверхні збігається з полем точкового заряду, поміщеного в центр сфери (кулі).
Коли поле утворене кількома довільно розташованими зарядами <7,, q2, ..., qn, потенціал φ поля в будь-якій точці цього поля дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів φ,, φ2, ..., <р„, створюваних кожним зарядом окремо:
Дане твердження випливає з принципу суперпозиції полів.
Як визначають різницю потенціалів
Потенціал у певній точці може мати різні значення, зумовлені вибором нульової точки, тому практично важливу роль відіграє не сам потенціал, а різниця потенціалів, яка не залежить від вибору нульової точки. Різниця потенціалів — це різниця значень потенціалу в початковій і кінцевій точках траєкторії руху заряду. З’ясуємо, як визначають різницю потенціалів.
Коли в електростатичному полі заряд рухається з точки 1 у точку 2, це поле виконує роботу, яка дорівнює зміні потенціальної енергії заряду, взятій із протилежним знаком:
Отже:
Якщо потенціальну енергію подати як
і цей вираз під
ставити у формулу (3), одержимо:
Звідси:
Різниця потенціалів між двома точками — це скалярна фізична величина, яка дорівнює відношенню роботи сил електростатичного поля з переміщення заряду з початкової точки в кінцеву до значення цього заряду:
Одиниця різниці потенціалів в СІ — вольт (В). Різниця потенціалів між двома точками поля дорівнює 1 В, якщо для переміщення між ними заряду 1 Кл електричне поле виконує роботу 1 Дж.
Слід зазначити, що різницю потенціалів
у подібних ви
падках також називають напругою (U).
Важливо не плутати зміну потенціалу
і різницю по
тенціалів (напругу)
(Використовуючи визначення різниці потенціалів, спробуйте самостійно визначити фізичний зміст потенціалу поля.)
Як пов'язані напруженість електростатичного поля та різниця потенціалів
Розглянемо однорідне електричне поле на ділянці між будь-якими точками 1 і 2, що перебувають на відстані d одна від одної; нехай із точки і у точку 2 під дією поля переміщується заряд q (рис. 4.1). У цьому випадку виконувану полем роботу можна подати через різницю потенціалів
між цими точками:
або через напруже
ність Е поля:
проекція вектора Е на вісь ОХ, проведену через точки 1 і 2. Порівнюючи обидва вирази для роботи, маємо:
З урахуванням співвідношення
формула (5) набуває
вигляду:
Очевидно, що аналогічні вирази можна написати для проекцій напруженості поля на інші осі координат. А у випадку, коли напрямки переміщення заряду та напруженості електричного поля збігаються, формула (5) набуває вигляду:
Одиницю напруженості поля в СІ — вольт на метр
встановлено на підставі формули (5). Напруженість однорідного електричного поля дорівнює 1 В/м, якщо різниця потенціалів між точками, розташованими на відстані 1 м у цьому полі, дорівнює 1 В.
Як уже говорилося, напруженість можна також подавати в ньютонах на кулон
Аналіз формули (5) показує: чим менше змінюється потенціал електростатичного поля на даній відстані, тем меншою є напруженість цього поля; якщо ж потенціал не змінюється, то напруженість поля дорівнює нулю.
Які поверхні називають еквіпотенціальними
Для наочного уявлення електростатичного поля крім силових ліній використовують еквіпотенціальні поверхні.
Еквіпотенціальна поверхня — це поверхня, в усіх точках якої потенціал електростатичного поля має однакове значення.
Для більшої наочності слід розглядати не одну еквіпотенціальну поверхню, а їх сукупність. Проте графічно зобразити сукупність складних поверхонь на одному рисунку дуже важко. Тому часто графічно зображують тільки перетини еквіпотенціальних поверхонь певною площиною або (що рівнозначно) — лінії, які являють собою множини точок з однаковим потенціалом у певній площині.
Еквіпотенціальні поверхні тісно пов’язані із силовими лініями електричного поля. Якщо електричний заряд переміщується по еквіпотенціальній поверхні, то робота поля дорівнює нулю, оскільки
а на еквіпотенціальній
поверхні
Цю роботу можна також подати через силу F, що діє на заряд з боку електростатичного поля:
Це означає, що під час руху заряду вздовж еквіпотенціальної поверхні вектор сили Е, а отже, й вектор напруженості Е поля в будь-якій точці перпендикулярні до вектора переміщення s . Таким чином, силові лінії електростатичного поля перпендикулярні до еквіпотенціальних поверхонь. Крім того, скориставшись формулою (5), легко довести, що силові лінії вказують напрямок максимального зменшення потенціалу електростатичного поля.
На рис. 4.2 показано картини силових ліній і еквіпотенціальних поверхонь деяких простих електростатичних полів.
Рис. 4.2. Еквіпотенціальні поверхні (сині лінії) та силові лінії (червоні лінії) простих електричних полів, створених: а — позитивним точковим зарядом; б — двома рівними позитивними точковими зарядами; в — двома точковим зарядами, рівними за модулем і протилежними за знаком
Зауважимо, що симетрія еквіпотенціальних поверхонь повторює симетрію джерел поля. Наприклад, поле точкового заряду сферично симетричне, тож еквіпотенціальними поверхнями поля точкового заряду є концентричні сфери; у випадку однорідного поля еквіпотенціальні поверхні являють собою систему паралельних площин. Учимося розв'язувати задачі
Задача 1. Електрон пройшов прискорювальну різницю потенціалів -300 В. Визначте швидкість руху електрона, якщо початкова швидкість його руху дорівнювала нулю. Маса електрона 9,1-10'31 кг, значення його заряду -1,6 1(Г19 Кл.
Аналіз фізичнсіі проблеми. Оскільки знак заряду електрона є від’ємним і початкова швидкість його руху дорівнює нулю, то під дією сил поля електрон рухатиметься в напрямку, протилежному напрямку силових ліній поля, тобто в напрямку збільшення потенціалу. Таким чином, поле буде виконувати додатну роботу, в результаті чого кінетична енергія електрона і, відповідно, швидкість його руху збільшуватимуться.
Отже, скориставшись формулою для розрахунку роботи електростатичного поля, яка подана через різницю потенціалів, і теоремою про кінетичну енергію, знайдемо шукану величину.
Пошук математичної моделі, розв’язання. Згідно з теоремою про кінетичну енергію:
робота сил поля, яка до
рівнює
Таким чином,
Визначимо значення шуканої величини:
Відповідь: швидкість руху електрона, що пройшов прискорювальну різницю потенціалів, и = 1,0 10' м/с.
Задача 2. На відстані 50 см від поверхні кулі, рівномірно зарядженої до потенціалу 25 кВ, розташований точковий заряд 1,0 1(Г8 Кл. Яку роботу необхідно виконати, щоб зменшити відстань між кулею і зарядом до 20 см? Радіус кулі — 9,0 см.
Аналіз фізичної проблеми. Вважатимемо, що точковий заряд переміщується в полі, створеному зарядженою кулею. Куля і заряд мають заряди одного знака, тому, щоб перемістити заряд до кулі, необхідно прикласти зовнішню силу, робота А' якої дорівнює: А' = -А, де А — робота сил поля.
З огляду на те що формула для розрахунку потенціалу поля, створеного рівномірно зарядженою кулею,
має той самий вигляд, що й для потенціалу поля, створеного точковим зарядом, можемо шляхом нескладних математичних перетворень знайти значення роботи А' зовнішньої сили.
Пошук математичної моделі, розв’язання.
Нехай точковий заряд переміщується з точки / у точку 2 (див. рисунок). Роботу зовнішньої сили з переміщення заряду знайдемо за формулою:
Ураховуючи, що потенціали поля, утвореного зарядженою кулею, у точках 1 і 2 дорівнюють відповідно
перепишемо формулу (1) у вигляді:
Заряд кулі знайдемо з формули потенціалу точки на поверхні кулі:
Підставивши вираз (3) у формулу (2), маємо:
Визначимо значення шуканої величини:
Відповідь: зовнішня сила має виконати роботу А’ = 39 мкДж.
Задача 3. Однорідне електростатичне поле створене двома паралельними пластинами довжиною по 3 см. Електрон влітає в це поле зі швидкістю руху 2 10е м/с, напрямленою паралельно пластинам. На яку відстань по вертикалі зміститься електрон до моменту виходу з простору між пластинами, якщо на пластини подано напругу 4,8 В, а відстань між ними 16 мм? Маса електрона 9,1-НГ*1 кг, модуль його заряду 1,6·1(Γ,β Кл.
Аналіз фізичної проблеми. Протягом усього часу руху електрона між пластинами на нього діють сила тяжіння FT*m та електрична сила F, напрямлені вертикально вниз. Дією сили тяжіння можна знехтувати, оскільки її значення в багато разів менше від значення електричної сили. Таким чином, електрон під дією сили F буде рухатися рівноприскорено по параболічній траєкторії в бік позитивно зарядженої пластини. Подавши складний рух електрона як результат додавання двох простих рухів: рівномірного — вздовж осі ОХ і рівноприскореного — вздовж осі ОУ, записавши відповідні рівняння кінематики та формули електростатики, знайдемо шукані величини.
Пошук математичної моделі, розв’язання. Зробимо пояснювальний рисунок, на якому покажемо осі координат, початкове та кінцеве положення електрона, напрямок його початкової швидкості та прискорення руху.
1) Запишемо рівняння координати й конкретизуємо їх для даної задачі:
Визначимо з рівняння (1) час руху:
підставимо його в рів
няння (2):
Під час руху електрона між пластинами на нього діє електрична сила:
Під дією цієї сили електрон набуває при
скорення а, яке за другим законом Ньютона дорівнює
або
з урахуванням формули (3):
Знаючи прискорення руху електрона, визначимо відстань, на яку зміститься електрон за час руху між пластинами:
Визначимо значення шуканих величин:
Відповідь: на момент виходу з простору між пластинами електрон зміститься на відстань Л = 6 мм.
Підбиваємо підсумки
Енергетичною характеристикою електростатичного поля є потенціал ер, який визначається відношенням потенціальної енергії Wn електричного заряду, поміщеного в дану точку електростатичного
поля, до значення q цього заряду:
Одиниця потенціалу
в СІ — вольт (В); 1В = 1 Дж /1 Кл.
Потенціал поля, створеного у вакуумі точковим зарядом Q, у точках, що розташовані на відстані г від цього заряду:
Потенціал поля, створеного системою зарядів, визначається виразом
Різниця потенціалів між двома точками
скалярна
фізична величина, що дорівнює відношенню роботи А,_,2 сил електростатичного поля з переміщення заряду з початкової точки в кінцеву
до значення q цього заряду:
Якщо напрямки переміщення заряду та напруженості електричного поля збігаються, напруженість електростатичного поля пов’язана
з різницею потенціалів
співвідношенням
Для наочного уявлення електростатичного поля крім силових ліній використовують еквіпотенціальні поверхні — поверхні з однаковим потенціалом.
Контрольні запитання
1. Що називають потенціалом електростатичного поля? Якою є його одиниця в СІ? 2. Які фізичні величини є характеристиками електростатичного поля? 3. Як пов'язані робота з переміщення заряду в електростатичному полі та потенціали в початковій і кінцевій точках траєкторії руху заряду? ★ 4. Виведіть формулу для розрахунку потенціалу поля точкового заряду. ★ 5. Потенціал поля яких об'єктів і за яких умов можна розрахувати за формулою потенціалу поля точкового заряду? б. Що таке різниця потенціалів? 7. Яким є співвідношення між напруженістю поля та різницею потенціалів? ★в. Які поверхні називають еквіпотенціальними? ★ 9. Як розташовані лінії напруженості поля відносно еквіпотенціальних поверхонь? ★ іО. Що являють собою еквіпотенціальні поверхні поля точкового заряду? ★ 11. Куди напрямлений вектор напруженості поля, якщо його потенціал зростає в напрямку знизу вгору?
Вправа № 4
1. В електростатичному полі із точки з потенціалом 450 В у точку з потенціалом 900 В рухається негативно заряджена частинка. Визначте модуль заряду частинки, якщо в ході її переміщення електричне поле виконує роботу 1,8 мкДж.
2. Дві паралельні пластини, розташовані на відстані 10 см одна від одної, заряджені до різниці потенціалів 1 кВ. Визначте силу, яка діятиме з боку електричного поля на заряд 1-Ю-4 Кл, поміщений між пластинами.
3. Електрон, що рухається зі швидкістю 3-Ю7 м/с, влітає в однорідне електричне поле напруженістю 1 -10і В/м. Визначте різницю потенціалів, яку необхідно пройти електрону, щоб швидкість його руху становила 1-Ю7 м/с, а також інтервал часу, за який електрон зупиниться. Вектори напруженості поля та швидкості руху електрона напрямлені однаково.
4. Електрон влітає в однорідне електростатичне поле напруженістю 600 В/см, створене двома однаковими горизонтальними пластинами. Швидкість руху електрона дорівнює 2-Ю7 м/с і напрямлена паралельно пластинам. Визначте довжину пластин, якщо до моменту виходу з простору між пластинами електрон змістився по вертікалі на 5 мм.
5. Електричне поле створене рівномірно зарядженою сферою радіусом 5 см. По радіусу між точками, розташованими на відстанях 12 і 15 см від центра сфери, рухається електрон. При цьому швидкість його руху змінюється від 2-Ю5 до 2-Ю6 м/с. Знайдіть поверхневу густину заряду сфери.