У попередньому параграфі йшлося про те, що конденсатор зберігає заряди. Але навіщо накопичувати заряди та зберігати їх? Що ще ховається між обкладками зарядженого конденсатора? І чим відрізняється заряджений конденсатор від не-зарядженого? У цьому параграфі ви дізнаєтеся відповіді на ці запитання.
Чому дорівнює енергія плоского конденсатора
Заряджений конденсатор, як і будь-яка інша система заряджених тіл, має енергію. У правильності цього твердження можна переконатися за допомогою простого експерименту.
Приєднаємо до обкладок зарядженого конденсатора лампочку кишенькового ліхтарика й виявимо, що в момент замикання ключа лампочка спалахує. Тепер виміряємо напругу на обкладках конденсатора — напруга дорівнюватиме нулю, отже, конденсатор розрядився. А це, у свою чергу, означає, що заряджений конденсатор мав енергію, яка перетворилася на енергію світла.
Розрахуємо енергію зарядженого до напруги U конденсатора, який має ємність С і заряд q.
Під час розрядження конденсатора напруга U на його обкладках змінюється прямо пропорційно заряду q конденсатора, оскільки електроємність С конденсатора
у даному випадку є постійною.
Таким чином, графік залежності U(q) має вигляд, поданий на рис. 8.1. Тоді, щоб розрахувати роботу А, яку виконує електричне поле зарядженого конденсатора під час його розрядження, скористаємося вже відомим вам прийомом. Уявно розділимо увесь заряд конденсатора на маленькі «порції» Aq і будемо вважати, що під час втрати кожної такої «порції» заряду напруга на конденсаторі не змінюється. Таким чином отримаємо ряд відрізків, кожний із яких відповідає зменшенню заряду конденсатора на Aq. На рис. 8.1 показано прямокутник, побудований на одному з таких відрізків. Площа прямокутника дорівнює добутку двох його сторін, тобто AqU', де U' — напруга, за якої конденсатор втрачав дану «порцію» заряду Aq. Вам уже відомо, що А = qU. Таким чином, площа даного прямокутника чисельно дорівнює роботі, яку виконає поле під час втрати конденсатором заряду Aq Зрозуміло, що повна робота, яку виконає поле під час зменшення заряду конденсатора від q до 0, визначається площею фігури під графіком залежності U(q), тобто площею трикутника АОВ.
Отже,
Урахувавши, що
отримаємо:
З іншого боку, робота, виконана під час розрядження конденсатора, дорівнює зміні енергії
електричного поля:
Таким чином, енергія Wa зарядженого до напруги U конденсатора, який має електроємність С і заряд q, дорівнює:
Цю енергію точніше було б назвати енергією електростатичного поля, яке існує між обкладками конденсатора, оскільки енергія будь-яких заряджених тіл зосереджена в електричному полі, створюваному цими тілами, і розподілена по всьому простору, де є це поле. Чітке доведення цього твердження в рамках електростатики неможливе, оскільки в дослідах з електростатики заряджені тіла та поля не відокремлені одні від одних. Однак у ході вивчення електромагнітних хвиль (розділ 4 підручника) буде доведено, що енергія локалізована в полі.
Що називають об'ємною густиною енергії електричного
поля
Подамо енергію електричного поля конденсатора через характеристику поля. Для цього виразимо напругу через напруженість (U = Ed) і скористаємося виразом для електроємності плоского
конденсатора
Після підстановки наведених формул у фор
мулу
отримаємо:
Аналізуючи останню формулу, доходимо висновку, що енергія однорідного поля прямо пропорційна об’єму, який займає поле. У зв’язку з цим говорять про енергію одиниці об’єму поля, так звану
об'ємну густину енергії
Одиниця об’ємної густини енергії в СІ — джоуль на кубічний
метр
Формула (*) справджується не тільки для будь-якого електростатичного поля, але й для змінного електричного поля.
Слід зауважити, що вперше поняття густини енергії електричного поля ввів британський фізик і математик Джеймс Клерк Макс-велл (1831—1879) (див. рис. 25.2), який слушно вважав, що енергія електричного поля розподілена по всьому об’єму, де є поле з густиною, вираженою формулою (*).
Учимося розв'язувати задачі
Задача 1 Конденсатор 1 зарядили до різниці потенціалів 100 В, відключили від джерела напруги і паралельно приєднали до конденсатора 2. Знайдіть енергію іскри, яка проскочила в момент з’єднання конденсаторів, якщо ємність конденсатора 1 дорівнює 0,5 мкФ, а конденсатора 2 — 0,4 мкФ.
Аналіз фізичної проблеми. Заряджений конденсатор 1 має енергію. Після підключення до нього не-зарядженого конденсатора 2 одержана батарея також матиме енергію, однак її значення буде меншим, ніж значення початкової енергії конденсатора 1. Визначивши зміну енергії системи конденсаторів, знайдемо шукану величину.
Пошук математичної моделі, розв’язання. Енергія зарядженого
конденсатора 1 дорівнює:
Після приєднання конденсато
ра 2 енергія батареї становитиме
де С — ємність батареї
конденсаторів, U — напруга на ній. Ємність батареї, що складається з двох паралельно з’єднаних конденсаторів, визначається за формулою: С = С, + С2.
За умовою задачі конденсатор 1 був відключений від джерела напруги, тому д, = q , де ql і 3J — заряди конденсатора 1 і батареї
відповідно. Тоді з урахуванням, що
маємо:
Отже,
Підставивши вирази для С і U у формулу для W2,
отримуємо:
Енергію іскри ΔW знайдемо з умови:
Визначимо значення шуканої величини:
Відповідь: енергія іскри AW = 1 мДж.
Яп2 Металева куля, яка має радіус 3 см і заряд 20 нКл, занурена в посудину з гасом так, що не торкається до стінок посудини. Визначте об’ємну густину енергії поля, створеного цією кулею, в точках, віддалених від центра кулі на відстані 2 і 4 см.
Аналіз фізичної проблеми. Точка, розташована на відстані 2 см від центра кулі, перебуває всередині кулі, тому напруженість поля в цій точці дорівнює нулю: Е\= 0 . Отже, ωω1 = 0 .
Густину енергії в точці, віддаленій від центра кулі на 4 см, знайдемо, використовуючи формули для розрахунку напруженості поля, створеного кулею.
Пошук математичної моделі, розв'язання. За означенням
де Е.г — напруженість поля кулі в точці, розташованій на відстані d2 від центра кулі.
Оскільки
Обчислимо значення шуканої величини:
Відповідь: об’ємна густина енергії поля в даних точках дорівнює:
Підбиваємо підсумки
Енергія Wn зарядженого конденсатора прямо пропорційна його електричній ємності С і квадрату напруги U між його обкладками:
Енергію конденсатора також можна розрахувати за
формулою
заряд конденсатора. Уся ця енергія зосе
реджена в електричному полі.
Об’ємна густина енергії поля прямо
пропорційна квадрату напруженості поля:
Контрольні запитання
1. Який дослід підтверджує, що заряджений конденсатор має енергію? 2. За допомогою яких формул розраховують енергію зарядженого конденсатора? Виведіть ці формули. з. Що таке об'ємна густина енергії електричного поля? Як
її розраховують? 4. Хто вперше ввів поняття об’ємної густини енергії елек
тричного поля?
Вправа № 8
1. Напруга між обкладками плоского конденсатора дорівнює 12 В. Заряд конденсатора 60 мкКл. Яку електроємність має конденсатор? Чому дорівнює його енергія? Як зміниться енергія конденсатора, якщо, не змінюючи напруги між його обкладками, удвічі збільшити відстань між ними?
2. За різниці потенціалів між обкладками плоского повітряного конденсатора 5000 В його заряд дорівнює 0,1 мкКл. Обчисліть площу пластин конденсатора й енергію, запасену в ньому. Відстань між пластинами конденсатора 5 мм.
3. Плоский повітряний конденсатор після зарядження відключили від джерела напруги та опустили в гас. Як зміниться енергія конденсатора?
4. Відстань між пластинами плоского конденсатора збільшують від 5 до 12 мм. На скільки при цьому зміниться енергія конденсатора, якщо різниця потенціалів між його пластинами становить 180 В? Площа пластини конденсатора дорівнює 174 см2.
5. Два провідники розташовані на великій відстані один від одного. Перший, ємністю 10~5 мкФ, заряджений до потенціалу 6 кВ, а другий, ємністю 2-Ю'5 мкФ, — до потенціалу 12 кВ. Яка кількість теплоти виділиться, якщо з'єднати провідники тонким дротом?
6. Дві однакові металеві кулі розташовані на великій відстані одна від одної. Поле першої кулі має енергію 16-10"'1 Дж, другої— 36-10“* Дж. Яка кількість теплоти виділиться, якщо з'єднати ці кулі тонким дротом?
ФІЗИКА ТА ТЕХНІКА В УКРАЇНІ Інститут електродинаміки НАН України (Київ)
Інститут, створений у 1947 р„ свого часу очолювали такі видатні вчені, як академіки С. О. Лебедєв, А. К. Шидловський, чл.-кор. АН УРСР О. М. Мілях. У 1951 р. акад. С. О. Лебедєв створив першу на Європейському континенті електронну обчислювану машину (ЕОМ). З неї почався розвиток комп'ютерної індустрії в СРСР. У 1997 р. вченого було нагороджено американською премією як засновника радянської комп'ютерної індустрії.
Основні напрямки діяльності Інституту електродинаміки: перетворення та стабілізація електромагнітної енергії; аналіз, оптимізація та автоматизація електроенергетичних систем; інформаційно-вимірювальні системи та метрологічне забезпечення в енергетиці; комплексні енергетичні системи з відновлюваними джерелами енергїї. У цих галузях Інститут є провідним в Україні. Досягнення інституту в галузі електроенергетичних систем дозволяють уникати аварій за умов одночасного використання різних потужних електростанцій.
Учені інституту мають багато державних та міжнародних відзнак і премій. З 2007 р. директор Інституту електродинаміки — академік НАНУ Олександр Васильович Кириленко.
1.
Вивчаючи розділ 1, ви поглибили свої знання про електричне поле.
Електричне поле — де форма матерії, яка існує навколо заряджених тіл і виявляється в дії з деякою силою на будь-яке заряджене тіло, що
перебуває в цьому полі
2.
Ви довели, що електричне поле має енергію, за рахунок якої сили, що діють з боку поля на електричний заряд, виконують роботу:
3.
Ви дізналися про фізичні величини, які характеризують електричне поле.
4.
Ви вивчили основний принцип та основну теорему електростатики.
5.
Ви навчилися графічно зображувати електричне поле.
6.
Ви дізналися, як електричне поле впливає на речовину і як речовина впливає на електричне поле.
7.
Ви довідалися, що таке конденсатори і що їх класифікують за призначенням, формою обкладок і типом діелектрика.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ ДО РОЗДІЛУ 1 «ЕЛЕКТРИЧНЕ ПОЛЕ»
Завдання 1. На шовковій нитці висить металева кулька, заряд якої +20 нКл, а маса 2 г. Під нею на деякій відстані розташували таку саму кульку, але заряд якої —4 нКл.
(1 бал) Чи зміниться сила натягу нитки, і якщо зміниться, то як? ^.збільшиться; ( залишиться незмінною;
g, зменшиться; ( спочатку збільшиться, а потім зменшиться.
(З бали) На якій відстані потрібно розташувати другу кульку, щоб сила натягу нитки змінилася у 2 рази? Кульки розташовані в повітрі.
(6 балів) Замість кульки із зарядом -4 нКл на відстані 2 см від металевої кульки розташували тонку металеву пластину. З якою силою ця пластина буде діяти на кульку? ^
Завдг іня 2. Електрон, рухаючись у вакуумі вздовж силової лінії електричного поля, проходить між двома точками з різницею потенціалів 400 В. Після проходження цієї різниці потенціалів швидкість руху електрона стає рівною нулю.
(1 бал) Яка із сил, зображених на рис. 1, показує напрямок сили, що діє на електрон?
(2 бали) Чому дорівнює робота, виконана електричним полем?
(З бали) Визначте, якою була швидкість руху електрона, коли він потрапив в електричне поле, а також відстань, яку подолав електрон, якщо напруженість електричного поля становить 8 кВ/м.
(4 бали) Чому буде дорівнювати зміна кінетичної енергії електрона, якщо він потрапить в електричне поле з тією самою початковою швидкістю, але перпендикулярно до силових ліній поля? Час руху електрона в полі 2 · 10 8 с. Напруженість поля 300 В/м.
Завдання 3. Два точкові заряди, значення кожного з яких +40 мкКл, розташовують у вакуумі на деякій відстані один від одного.
(2 бали) Чому дорівнює напруженість електричного поля в точці, розташованій посередині між цими зарядами?
(6 балів) Чому дорівнює густина енергії електричного поля, створеного цими зарядами, у точці, що розташована на відстані 10 см від кожного заряду?
Завдання 4. На рис. 2 зображено слюдяний конденсатор, на корпусі якого вказані значення ємності та робочої напруги.
(2 бали) Визначте модуль заряду однієї з обкладок зарядженого до робочої напруги конденсатора.
6 мКл; л 38 кКл;
° 27 мкКл; , 400 мкКл.
О) Т)
(З бали) Як зміниться енергія цього конденсатора, якщо його зарядити до робочої напруги, а потім приєднати до нього паралельно такий самий незаряджений конденсатор?
(З бали) Чому буде дорівнювати електроємність батареї з таких конденсаторів, якщо їх з’єднати так, як показано на рис. З?
Звірте ваші відповіді з наведеними наприкінці підручника. Позначте завдання, які ви виконали правильно, і полічіть суму балів. Потім цю суму розділіть на два (для академічного рівня) або на три (для профільного рівня). Одержане число відповідатиме рівню ваших навчальних досягнень.